Pendahuluan
Artikel ini menyajikan contoh soal ujian matematika untuk kelas 3 SMK, lengkap dengan pembahasan yang mendalam. Tujuan utamanya adalah membantu siswa mempersiapkan diri menghadapi ujian, memahami konsep-konsep penting, dan meningkatkan kemampuan problem-solving. Soal-soal yang disajikan mencakup berbagai topik yang relevan dengan kurikulum SMK, seperti aljabar, trigonometri, kalkulus dasar, statistika, dan peluang.
I. Aljabar
-
A. Persamaan Kuadrat
-
Soal 1: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x² – 5x + 6 = 0.
- Pembahasan:
Persamaan kuadrat ini dapat difaktorkan menjadi (x – 2)(x – 3) = 0.
Oleh karena itu, akar-akarnya adalah x = 2 dan x = 3.
- Pembahasan:
-
Soal 2: Jika salah satu akar persamaan kuadrat x² + px – 12 = 0 adalah 4, tentukan nilai p dan akar yang lain.
- Pembahasan:
Substitusikan x = 4 ke dalam persamaan:
(4)² + p(4) – 12 = 0
16 + 4p – 12 = 0
4p = -4
p = -1
Persamaan kuadrat menjadi x² – x – 12 = 0. Faktorkan menjadi (x – 4)(x + 3) = 0.
Akar yang lain adalah x = -3.
- Pembahasan:
-
-
B. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
-
Soal 3: Selesaikan sistem persamaan berikut:
2x + y = 7
x – y = 2- Pembahasan:
Gunakan metode eliminasi. Jumlahkan kedua persamaan:
(2x + y) + (x – y) = 7 + 2
3x = 9
x = 3
Substitusikan x = 3 ke persamaan x – y = 2:
3 – y = 2
y = 1
Solusinya adalah x = 3 dan y = 1.
- Pembahasan:
-
Soal 4: Harga 3 buah buku dan 2 buah pensil adalah Rp13.000,00. Harga 2 buah buku dan 3 buah pensil adalah Rp12.000,00. Tentukan harga sebuah buku dan sebuah pensil.
- Pembahasan:
Misalkan harga buku = b dan harga pensil = p.
Persamaan 1: 3b + 2p = 13000
Persamaan 2: 2b + 3p = 12000
Kalikan persamaan 1 dengan 2 dan persamaan 2 dengan 3:
6b + 4p = 26000
6b + 9p = 36000
Kurangkan persamaan yang kedua dengan yang pertama:
5p = 10000
p = 2000
Substitusikan p = 2000 ke persamaan 1:
3b + 2(2000) = 13000
3b = 9000
b = 3000
Jadi, harga sebuah buku adalah Rp3.000,00 dan harga sebuah pensil adalah Rp2.000,00.
- Pembahasan:
-
II. Trigonometri
-
A. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
-
Soal 5: Dalam segitiga siku-siku ABC, dengan sudut C = 90°, AB = 13 cm, dan BC = 5 cm, tentukan nilai sin A, cos A, dan tan A.
- Pembahasan:
Gunakan teorema Pythagoras untuk mencari AC:
AC² = AB² – BC² = 13² – 5² = 169 – 25 = 144
AC = 12 cm
sin A = BC/AB = 5/13
cos A = AC/AB = 12/13
tan A = BC/AC = 5/12
- Pembahasan:
-
Soal 6: Jika tan θ = 3/4, dan θ adalah sudut lancip, tentukan nilai sin θ dan cos θ.
- Pembahasan:
Buat segitiga siku-siku dengan sisi depan = 3 dan sisi samping = 4.
Sisi miring = √(3² + 4²) = √25 = 5
sin θ = 3/5
cos θ = 4/5
- Pembahasan:
-
-
B. Identitas Trigonometri
-
Soal 7: Sederhanakan ekspresi: (sin² x + cos² x) / tan x
- Pembahasan:
Karena sin² x + cos² x = 1, maka ekspresi menjadi 1 / tan x = cot x.
- Pembahasan:
-
Soal 8: Buktikan identitas: (1 + tan² x) = sec² x
- Pembahasan:
Kita tahu bahwa tan x = sin x / cos x dan sec x = 1 / cos x.
1 + tan² x = 1 + (sin² x / cos² x) = (cos² x + sin² x) / cos² x = 1 / cos² x = sec² x.
- Pembahasan:
-
III. Kalkulus Dasar
-
A. Turunan (Differensial)
-
Soal 9: Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = 3x² – 2x + 5.
- Pembahasan:
f'(x) = 6x – 2
- Pembahasan:
-
Soal 10: Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = (x² + 1)(x – 2).
- Pembahasan:
Gunakan aturan perkalian: f'(x) = (2x)(x – 2) + (x² + 1)(1) = 2x² – 4x + x² + 1 = 3x² – 4x + 1.
- Pembahasan:
-
-
B. Integral
-
Soal 11: Tentukan integral dari ∫(2x + 3) dx.
- Pembahasan:
∫(2x + 3) dx = x² + 3x + C, di mana C adalah konstanta integrasi.
- Pembahasan:
-
Soal 12: Tentukan integral dari ∫(x² – 4x + 1) dx.
- Pembahasan:
∫(x² – 4x + 1) dx = (1/3)x³ – 2x² + x + C, di mana C adalah konstanta integrasi.
- Pembahasan:
-
IV. Statistika
-
A. Ukuran Pemusatan Data
-
Soal 13: Tentukan mean, median, dan modus dari data berikut: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9.
- Pembahasan:
Mean = (4 + 5 + 5 + 6 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 9) / 10 = 66 / 10 = 6.6
Median = (7 + 7) / 2 = 7
Modus = 7 (muncul paling sering)
- Pembahasan:
-
Soal 14: Data nilai ulangan matematika siswa disajikan dalam tabel berikut:
Nilai Frekuensi 5 2 6 4 7 5 8 3 9 1 Tentukan mean dari data tersebut.
- Pembahasan:
Mean = (52 + 64 + 75 + 83 + 9*1) / (2 + 4 + 5 + 3 + 1) = (10 + 24 + 35 + 24 + 9) / 15 = 102 / 15 = 6.8
- Pembahasan:
-
-
B. Ukuran Penyebaran Data
-
Soal 15: Tentukan jangkauan (range) dari data pada soal nomor 13.
- Pembahasan:
Jangkauan = Nilai tertinggi – Nilai terendah = 9 – 4 = 5
- Pembahasan:
-
V. Peluang
-
A. Konsep Dasar Peluang
-
Soal 16: Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul mata dadu ganjil.
- Pembahasan:
Ruang sampel = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (6 kemungkinan)
Kejadian muncul mata dadu ganjil = 1, 3, 5 (3 kemungkinan)
Peluang = 3/6 = 1/2
- Pembahasan:
-
Soal 17: Dua buah koin dilempar bersamaan. Tentukan peluang muncul keduanya gambar.
- Pembahasan:
Ruang sampel = GG, GA, AG, AA (4 kemungkinan)
Kejadian muncul keduanya gambar = GG (1 kemungkinan)
Peluang = 1/4
- Pembahasan:
-
-
B. Peluang Kejadian Majemuk
-
Soal 18: Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 3 bola putih. Jika diambil dua bola secara acak tanpa pengembalian, tentukan peluang terambil keduanya bola merah.
- Pembahasan:
Peluang bola merah pertama = 5/8
Peluang bola merah kedua (setelah bola merah pertama diambil) = 4/7
Peluang keduanya bola merah = (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/14
- Pembahasan:
-
Soal 19: Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set kartu bridge. Tentukan peluang terambil kartu As atau kartu berwarna merah.
- Pembahasan:
Peluang terambil kartu As = 4/52
Peluang terambil kartu merah = 26/52
Peluang terambil kartu As merah = 2/52
Peluang terambil kartu As atau kartu merah = (4/52) + (26/52) – (2/52) = 28/52 = 7/13
- Pembahasan:
-
Kesimpulan
Contoh soal dan pembahasan di atas diharapkan dapat memberikan gambaran yang komprehensif mengenai materi matematika yang diujikan di kelas 3 SMK. Penting bagi siswa untuk terus berlatih soal-soal yang bervariasi dan memahami konsep dasar matematika dengan baik. Semoga sukses dalam ujian!
Leave a Reply